دراسة نظرية لتصميم معيار يسهم في تقليص عدد تفريعات طريقة التفريع والتحديد (B&B) للمشاكل الخطية من نوع (2×m)

Abstract

تعتبر طـريقة التفـريع والتحـديد (Branch and Bound Method) أهم الطرق المستخدمة في حل مشاكل برمجة العدد الصحيح ، وتستخدم عندما يكون حل المشكلة غير منطقي من الناحية الفيزيائية، بمعنى عندما تكون متغيرات المشكلة غير قابلة للتجزئة ، وتبـدأ آلية عمل هذه الطريقة انطلاقاً من الحــل الأمثـــل (Non-int)، وذلك بتفريع المشكلة إلى مشكلتين فرعيتين ، وهذا يعني تجزئة منطقة الحلول الممكنة لمنطقتين، ومن تم إيجاد الحل الأمثل لهاتين المشكلتين كلاً على حدة، ويتم الاستمرار في تفريع المشاكل الفرعية وإيجاد حلولها. ويتم التوقف عن سلسلة التفريعات في حالة عـدم وجـود حــل للمشكلة الفرعيـــة أو عندما تكون قيم حلها قيم صحيحة (Integer). إن عدد المشاكل الفرعية الناتجة من عملية التفريع تزداد بشكل كبير بزيادة عدد متغيراتها وعدد قيودها، وقد توصل الشيخ وأخرون (يوليو 2022) لتحديد المعايير (Criterions) التي يتم استخدامها في بعض الحالات في تحديد المشكلة الفرعية الواجب تفريعها (المشكلة المرشحة لاحتواء الحل الأمثل Int)) ، والتوقف عن تفريع الأخرى (التي لا تحتوي على هذا الحل) ، وفي هذه الورقة تم تصميم معيار أخر لتقليص عدد التفريعات التي عجزت عليها المعايير المستخدمة في الورقة المذكورة ، بهدف توفير الوقت والجهد اللازم لحل المشكلة (تقليص شجرة التفريعات)، حيث يمكن عن طريق استخدام هذا المعيار تقليص ما يقارب على 25% من عدد التفريعات.